广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）：
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e8a3c7603ffb382813751d7843845799099b89)
其中积分路径 C 视参数 p, q 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。
Meijer-G 函数是上面积分表达式的一个推广，它的定义为：
![{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}z^{s}\left.\left(\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{k}+s)\right)\right/\left(\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}-s)\right/\left.\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0189585be7474f2eda45df3ffc7d5b414cf1b3e8)
其中积分路径 C 视参数的相对大小而定[注 1]。但是，为了保证至少一条积分路径有定义，要求
在书写 Meijer-G 函数时要注意，上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 bk，而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 ak。
对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-G 函数的关系：
![{\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})}}\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a_{1}&1-a_{2}&\ldots &1-a_{p}\\0&1-b_{1}&\ldots &1-b_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b_{1}&\ldots &b_{q}\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c4893d725cd7cbdcdce2d43dfba9ce92b71b4c)
由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-G 函数满足下列微分方程，它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。
![{\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}z\prod _{k=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-a_{k}+1\right)-\prod _{k=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-b_{k}\right)\right]w=0,\quad w(z)=G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d3088316875cd53dee3c2f126cc023ed0cf1f1)
.
这是一个 max(p,q) 阶的线性微分方程，在 z=0 附近的基本解组可以选取为
当 p=q 时两种取法都可以。
从 m, n 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此，以第一种情况为例，
等号右边的 Meijer-G 函数显然就是广义超几何函数。
因为广义超几何函数是 Meijer-G 函数的特殊情形，故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-G 函数表示，但是，在个别情况下，用 Meijer-G 函数有更简单的表示式，例子如诺依曼函数，它可以用超几何函数0F1表示，但表示式仅仅是将（第一类）贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中，因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-G 函数就可以直接表示为：
另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数，它无法用广义超几何函数表出，但可以用 Meijer-G 函数表出：
事实上，不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-G 函数表出，详见不完全Γ函数一文。
如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数（双变量的广义超几何函数）的关系那样，Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况：
![{\displaystyle G_{p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}^{m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2}}\left[{\begin{array}{lll}a_{1},\dots ,a_{p};c_{1,1},\dots ,c_{1,u_{1}};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_{2}};\\b_{1},\dots ,b_{q};d_{1,1},\dots ,d_{1,v_{1}};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_{2}};\end{array}}\ z,w\right]=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{\mathcal {L}}\int _{\mathcal {L'}}{\frac {\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}{\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{1}}\Gamma (d_{1,k}+\sigma )\prod _{k=1}^{t_{1}}\Gamma (1-c_{1,k}-\sigma )}{\prod _{k=t_{1}+1}^{u_{1}}\Gamma (c_{1,k}+\sigma )\prod _{k=s_{1}+1}^{v_{1}}\Gamma (1-d_{1,k}-\sigma )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{2}}\Gamma (d_{2,k}+\tau )\prod _{k=1}^{t_{2}}\Gamma (1-c_{2,k}-\tau )}{\prod _{k=t_{2}+1}^{u_{2}}\Gamma (c_{2,k}+\tau )\prod _{k=s_{2}+1}^{v_{2}}\Gamma (1-d_{2,k}-\tau )}}z^{-\sigma }w^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2},p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}\in \mathbb {N} ,m\leq q,n\leq p,s_{1}\leq v_{1},t_{1}\leq u_{1},s_{2}\leq v_{2},t_{2}\leq u_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3e16c3bd01808fc6d34be89d755419b33b66b)
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e8a3c7603ffb382813751d7843845799099b89)
![{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}z^{s}\left.\left(\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{k}+s)\right)\right/\left(\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}-s)\right/\left.\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0189585be7474f2eda45df3ffc7d5b414cf1b3e8)
![{\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})}}\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a_{1}&1-a_{2}&\ldots &1-a_{p}\\0&1-b_{1}&\ldots &1-b_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b_{1}&\ldots &b_{q}\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c4893d725cd7cbdcdce2d43dfba9ce92b71b4c)
![{\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}z\prod _{k=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-a_{k}+1\right)-\prod _{k=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}-b_{k}\right)\right]w=0,\quad w(z)=G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d3088316875cd53dee3c2f126cc023ed0cf1f1)
![{\displaystyle G_{p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}^{m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2}}\left[{\begin{array}{lll}a_{1},\dots ,a_{p};c_{1,1},\dots ,c_{1,u_{1}};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_{2}};\\b_{1},\dots ,b_{q};d_{1,1},\dots ,d_{1,v_{1}};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_{2}};\end{array}}\ z,w\right]=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{\mathcal {L}}\int _{\mathcal {L'}}{\frac {\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}{\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}+\sigma +\tau )\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-a_{k}-\sigma -\tau )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{1}}\Gamma (d_{1,k}+\sigma )\prod _{k=1}^{t_{1}}\Gamma (1-c_{1,k}-\sigma )}{\prod _{k=t_{1}+1}^{u_{1}}\Gamma (c_{1,k}+\sigma )\prod _{k=s_{1}+1}^{v_{1}}\Gamma (1-d_{1,k}-\sigma )}}{\frac {\prod _{k=1}^{s_{2}}\Gamma (d_{2,k}+\tau )\prod _{k=1}^{t_{2}}\Gamma (1-c_{2,k}-\tau )}{\prod _{k=t_{2}+1}^{u_{2}}\Gamma (c_{2,k}+\tau )\prod _{k=s_{2}+1}^{v_{2}}\Gamma (1-d_{2,k}-\tau )}}z^{-\sigma }w^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_{1},t_{1},s_{2},t_{2},p,q,u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}\in \mathbb {N} ,m\leq q,n\leq p,s_{1}\leq v_{1},t_{1}\leq u_{1},s_{2}\leq v_{2},t_{2}\leq u_{2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3e16c3bd01808fc6d34be89d755419b33b66b)
